Фамилия Синих имеет русское происхождение и относится к так называемым «цветовым» фамилиям, образованным от прилагательного «синий». В основе фамилии лежит прозвище Синий, которое могло указывать на цвет глаз, волос или одежды человека. Форма Синих представляет собой родительный падеж множественного числа, что характерно для фамилий, возникших в северных и центральных регионах России, особенно в Архангельской, Вологодской и Костромской областях. Такие фамилии часто фиксировались в документах как «Синих» (чьих? — Синих).
Фамилия Синих встречается преимущественно в России, особенно в северных и центральных регионах. По данным переписей, она не является широко распространённой, но имеет устойчивое бытование. В исторических документах фамилия упоминается с XVII века, например, в писцовых книгах. Этимологически фамилия связана с цветообозначением «синий», которое в древнерусском языке имело значение «тёмный, синий».
С точки зрения словообразования, фамилия Синих образована от основы «син-» с помощью суффикса «-их», который в русских фамилиях указывает на принадлежность к роду или семье (ср. Белых, Чёрных). Таким образом, Синих означает «из рода Синих» или «принадлежащий к семье Синих».
Источники: Унбегаун Б. О. «Русские фамилии»; Никонов В. А. «Словарь русских фамилий»; переписи, избирательные списки и архивные описи.