Фамилия Обрежа имеет славянское происхождение и образована от прозвища, которое, вероятно, связано с глаголом «обрезать» (др.-рус. обрѣзати). Прозвище могло указывать на человека, занимавшегося резкой или обрезкой чего-либо (например, портного, сапожника или плотника). Также возможно, что прозвище было дано человеку с какой-либо физической особенностью (например, с обрезанным ухом или пальцем).
Фамилия встречается в украинских и белорусских землях, что подтверждается характерным окончанием -а, типичным для украинских фамилий. В России фамилия редкая, встречается в южных регионах. Первые упоминания могут относиться к XVI–XVII векам, когда фамилии начали закрепляться среди казачества и крестьянства.
Этимологически фамилия Обрежа связана с корнем «обрез-» (от «резать»). Суффикс -а указывает на украинское происхождение. Родственные фамилии: Обрезков, Обрезанов, Обрежко.
Источники: Унбегаун Б. О. «Русские фамилии»; Никонов В. А. «Словарь русских фамилий»; переписи, избирательные списки и архивные описи.