Фамилия Клеймюк имеет украинское происхождение и относится к группе фамилий, образованных от прозвищ, связанных с ремеслом или занятием. Основа 'клейм-' восходит к слову 'клеймо' (тавро, знак), что могло указывать на человека, занимавшегося клеймением скота или товаров. Суффикс '-юк' является типичным украинским патронимическим суффиксом, указывающим на принадлежность к роду или потомка. Таким образом, Клеймюк — 'сын или потомок Клейма'.
Фамилия распространена преимущественно в западных областях Украины, особенно в Волынской и Ровенской областях. Встречается также среди украинской диаспоры. Первые упоминания фамилии относятся к XVIII веку, когда в реестрах казацких полков фиксировались прозвища и фамилии.
Этимологически фамилия связана с процессом клеймения, что в историческом контексте могло относиться к ремесленникам (кузнецам, кожевникам) или к чиновникам, ставившим клейма на товары. В более широком смысле, прозвище могло быть дано человеку с характерной меткой или родинкой.
Источники: Унбегаун Б. О. «Русские фамилии»; Никонов В. А. «Словарь русских фамилий»; переписи, избирательные списки и архивные описи.