Фамилия Тягаев имеет русское происхождение и относится к группе фамилий, образованных от прозвищ, связанных с действиями или профессиями. В основе фамилии лежит прозвище Тягай, которое восходит к глаголу «тягать» (тащить, волочить) или «тягаться» (соревноваться, мериться силой). Прозвище могло указывать на физическую силу, упорство или занятие, связанное с переноской тяжестей (например, бурлак, грузчик).
Фамилия распространена в центральных и южных регионах России, а также в Поволжье. В исторических документах встречается с XVI века, например, в писцовых книгах Новгородской земли. Суффикс «-ев» указывает на патронимическое происхождение (сын Тягая). Варианты фамилии: Тягаев, Тягай, Тягачев.
Этимологически фамилия связана с диалектными словами «тяга» (сила, упорство) и «тягло» (повинность, работа). В некоторых говорах «тягай» означало «лентяй» (от «тягать» в значении «бездельничать»), но это значение менее вероятно.
Источники: Унбегаун Б. О. «Русские фамилии»; Никонов В. А. «Словарь русских фамилий»; переписи, избирательные списки и архивные описи.