Фамилия Шруг имеет восточнославянские корни и, скорее всего, образована от прозвища, восходящего к диалектному слову «шруг» (или «шруб»), которое в некоторых говорах означает «обрубок дерева, чурбан» или «нечто шероховатое, грубое». Прозвище могло характеризовать человека по внешности (коренастый, грубый) или по роду занятий (например, лесоруб, плотник).
Фамилия редкая, встречается в основном в западных регионах России, а также в Беларуси и Украине. В исторических документах фамилия фиксируется с XVIII века. Возможно, существует связь с польским словом «śruba» (винт, болт) или немецким «Schraube», но более вероятно славянское происхождение.
Этимологически фамилия может быть родственна таким фамилиям, как Шрубов, Шрубак, Шрубчик, а также Шрунтов (если последний связан с тем же корнем). Однако точное родство требует дополнительных исследований.
Источники: Унбегаун Б. О. «Русские фамилии»; Никонов В. А. «Словарь русских фамилий»; переписи, избирательные списки и архивные описи.