Фамилия Климко имеет украинское и белорусское происхождение. В основе лежит каноническое имя Климент (лат. Clemens — 'милостивый'), которое в народной форме звучало как Клим. Суффикс -ко является типичным для восточнославянских фамилий, особенно украинских, и указывает на принадлежность к роду или потомку человека по имени Клим. Таким образом, Климко означает 'сын Клима' или 'потомок Клима'.
Фамилия распространена в Украине, особенно в западных областях, а также в Беларуси и южных регионах России. Встречается в документах с XVI века. Варианты фамилии: Климков, Климович, Клименко.
Этимологически родственными являются фамилии, образованные от того же корня 'клим' с различными суффиксами: Климков, Климкович, Климкин, Клименко, Климченко, Климович.
Источники: Унбегаун Б. О. «Русские фамилии»; Никонов В. А. «Словарь русских фамилий»; переписи, избирательные списки и архивные описи.