Фамилия Каур восходит к тюркскому слову 'каур' (или 'каура'), означающему 'бурый, карий' — обычно так называли лошадей буро-карей масти. В русском языке слово 'каурый' закрепилось как прилагательное для обозначения светло-каштанового цвета лошадиной шерсти. Фамилия могла возникнуть как прозвище человека, имевшего лошадь такой масти, либо как описательное имя по цвету волос или глаз.
Встречается преимущественно у народов Поволжья и Урала, а также среди русских, татар и башкир. В некоторых случаях фамилия могла быть образована от диалектного 'каур' — 'глухарь' (птица), но основная версия — тюркская. В письменных источниках фамилия фиксируется с XVII века, например, в переписях населения Казанской губернии.
Географически фамилия распространена в России (Татарстан, Башкортостан, Оренбургская область), а также в Украине и Беларуси. Варианты написания: Каур, Кауров, Каурин.
Источники: Унбегаун Б. О. «Русские фамилии»; Никонов В. А. «Словарь русских фамилий»; переписи, избирательные списки и архивные описи.