Фамилия Евшук имеет украинское происхождение и относится к группе фамилий, образованных от канонического имени Евстафий (греч. Εὐστάθιος — «устойчивый», «постоянный»). В народной речи имя Евстафий трансформировалось в формы Евша, Евшко, от которых с помощью патронимического суффикса -ук (характерного для Западной Украины, особенно Волыни и Подолья) возникла фамилия Евшук. Суффикс -ук указывает на принадлежность к роду: «сын Евши».
Фамилия распространена преимущественно в западных областях Украины (Волынская, Ровенская, Львовская), а также среди украинской диаспоры. В России встречается реже, обычно у потомков переселенцев с Украины. Первые письменные упоминания фамилии относятся к XVII–XVIII векам в метрических книгах православных церквей Волыни.
Этимологически фамилия Евшук связана с именем Евстафий, которое в народной традиции давалось в честь святого Евстафия Плакиды, почитаемого как в православии, так и в католицизме. Варианты фамилии: Евшак, Евшенко, Евшуков (русифицированная форма).
Источники: Унбегаун Б. О. «Русские фамилии»; Никонов В. А. «Словарь русских фамилий»; переписи, избирательные списки и архивные описи.