Фамилия Будан имеет несколько возможных этимологических источников. Наиболее вероятно, что она образована от прозвища Будан, которое могло быть связано с глаголом 'будить' (то есть 'будящий', 'пробуждающий') или с диалектным словом 'буда' (строение, постройка, особенно временная). В некоторых регионах 'буда' означала также 'лесная сторожка' или 'шалаш'. Таким образом, фамилия могла указывать на человека, который строил или жил в таких постройках, либо на того, кто имел привычку рано вставать или будить других.
Фамилия распространена в восточнославянских землях, особенно в Беларуси и Украине. Встречается также в России, но реже. Первые упоминания могут относиться к XVI–XVII векам. Суффикс '-ан' характерен для украинских и белорусских фамилий, часто указывает на принадлежность или происхождение.
В некоторых случаях фамилия могла быть образована от имени Будан, которое является производным от Будимир или других славянских имен с корнем 'буд-'. Также возможно влияние тюркских языков, где 'будан' означает 'туман' или 'мгла', но это менее вероятно.
Источники: Унбегаун Б. О. «Русские фамилии»; Никонов В. А. «Словарь русских фамилий»; переписи, избирательные списки и архивные описи.