Фамилия Биряев образована от прозвища Биряй, которое, вероятно, восходит к диалектному слову «биря» — «ворчун, брюзга» или к глаголу «бирять» — «ворчать, брюзжать». В некоторых говорах «биря» также могло означать «непоседа» или «суетливый человек». Таким образом, фамилия относится к группе «характеристических» прозвищ, даваемых по особенностям поведения.
Фамилия имеет патронимическое происхождение: суффикс -ев указывает на принадлежность к роду Биряя (чей? — Биряев). Встречается преимущественно в центральных и южных регионах России, а также в Поволжье. Первые упоминания относятся к XVI–XVII векам, когда фамилии на -ев активно формировались у крестьян и посадских людей.
Этимологически фамилия Биряев может быть связана с другими славянскими фамилиями, образованными от корня «бир-» (например, Бирюков, Бирилёв), но имеет свою специфическую диалектную основу. В современной России фамилия встречается нечасто, но сохраняет архаичный колорит.
Источники: Унбегаун Б. О. «Русские фамилии»; Никонов В. А. «Словарь русских фамилий»; переписи, избирательные списки и архивные описи.