Фамилия Аджи-Мурат является составной и происходит от личного имени Аджи-Мурат, распространённого у тюркских народов, особенно у крымских татар и народов Кавказа. Компонент 'Аджи' (или 'Хаджи') — почётный титул, присваиваемый мусульманину, совершившему хадж в Мекку. Компонент 'Мурат' — арабское имя, означающее 'желанный', 'цель'. Таким образом, фамилия указывает на предка, который был паломником и носил имя Мурат.
Фамилия встречается преимущественно среди крымских татар, а также у народов Северного Кавказа (например, у адыгов). В русском контексте фамилия могла быть зафиксирована в документах XIX века, когда проводилась перепись населения Крыма и Кавказа. Со временем фамилия могла трансформироваться в более простые формы, такие как Аджиев или Муратов.
Географически фамилия распространена в Крыму, Краснодарском крае, Ставрополье, а также в Турции среди потомков эмигрантов. В современной России носители фамилии встречаются редко, но она сохраняет яркую этническую окраску.
Источники: Унбегаун Б. О. «Русские фамилии»; Никонов В. А. «Словарь русских фамилий»; переписи, избирательные списки и архивные описи.