Бабак — это сурок по-украински
Бабаком (или байбаком) на Украине называют степного сурка — крупного грызуна, который полгода проводит в спячке. Скорее всего, от этого прозвища и пошла фамилия Бабак. Её носят около 13 тысяч человек, а на сайте 4 известных носителя.
Степной сурок, по-научному Marmota bobak, когда-то жил по всей степной полосе от Украины до Казахстана. Это крупный грызун, который строит сложные норы, свистом предупреждает сородичей об опасности и впадает в спячку до весны. Распашка степей сильно сократила его численность.
В русском языке «байбак» стал ещё и словом для лентяя и лежебоки — из-за долгой спячки зверька. Поэтому прозвище Бабак могло отражать и внешность (полноватый, неторопливый человек), и характер. Вероятно, отсюда и украинская фамилия Бабак.
Не стоит путать её с иранским именем Бабак (в русской традиции — Бабек). Так звали, например, Бабека, предводителя крупного восстания против Аббасидского халифата в IX веке. Это созвучие, а не общее происхождение.
Бабаков в мире около 13 тысяч, в основном на Украине и в соседних странах. Однофамильцы, скорее всего, не связаны родством: прозвище могло появиться в любом селе.